Curvas Cónicas After Christmas Parte 2: La Parábola

 Seguimos con el apasionante mundo de las cónicas. Aunque hoy sea la noche de reyes, este post se lo dedicamos a la parábola y, por tanto, a sus principales elementos: recta tangente y circunferencia focal. Si no sabes de lo que te hablo, es que no has leído el post anterior sobre la elipsis, así que ¡ya estás tardando!

La definición que encontramos de parábola es que es una curva plana, de una rama abierta. Es el lugar geométrico de los puntos (P) que equidistan -marcado con línea discontinua en morado- del foco (un punto fijo llamado F) y de una recta fija a la que llamamos directriz (d).

 El eje de la parábola es la línea recta (en este caso la hemos pintado de rojo para que sea más fácil reconocerla) donde se sitúa el foco y es perpendicular a la directriz (d). También tiene un vértice (v), situado en el punto medio entre la directriz y el foco en este mismo eje.

 La razón de que esté dibujada desde el principio la recta perpendicular que va desde P a la directriz es que este punto resultante es F'', un punto que nos ayudará a encontrar fácilmente los elementos que interfieren en esta figura.

La recta tangente podemos obtenerla de la siguiente manera: Una vez tenemos F'', procedemos a trazar un segmento que lo una con F. A este segmento le hacemos la mediatriz, y esta será la recta tangente que buscamos.

Si seguimos con la dinámica de buscar la circunferencia focal, como ya hicimos con la anterior figura (que fue la elipsis, ¿de verdad aún no has ido a ver el post?), podemos volvernos locos, puesto que la definición que hemos visto de esta circunferencia no es válidad para la parábola, y lo que tendremos será una recta que coincide con la directriz. Esto también pasa con lo que sería la circunferencia principal, y también coincide con una recta, pero en este caso se trata de una recta tangente a la parábola en el vértice. 

 

Con estos truquis del almendruqui que acabo de dejar aquí, vamos a resolver juntas el siguiente problema:

Dada la recta tangente (t), un foco (F) y un punto (P), halla el punto de tangencia que esta recta t tiene sobre la parábola, su directriz y el eje.

Visto así puede parecer un poco caótico este dibujo de aquí arriba, pero con estos sencillos pasos tú también podrás dibujar la parábola que te mereces. Si queremos dibujar la directriz, lo primero que hay que saber es su definición: En una parábola, es el conjunto de simétricos del foco respecto a todas las rectas tangentes. Lo que haremos será dibujar el simétrico del foco F respecto a la recta t puesto que si hallamos F' estaremos un poquito más cerca de dibujarla, ya que cortará directamente con ella. 

El siguiente paso que vamos a dar para conseguir nuestra directriz es a través de P. 

Para que este punto pueda pertenecer a dicha parábola, os recuerdo que tiene que equidistar tanto de la directriz como de F, así que con radio PF, trazamos una circunferencia con centro en P. para, a continuación, dibujar la directriz*, que será la recta tangente de F' a la circunferencia que acabamos de realizar. Esto se hace uniendo P con F' y trazando la mediatriz tendremos el punto M y que marca la mitad del segmento. M es centro de una circunferencia que va a cortar a la anterior en el punto de tangencia que elijamos en cada caso.

*Aquí es interesante apuntar que existirían dos soluciones, puesto que la recta que trazamos desde F' al punto que corta con la circunferencia puede hacerse a ambos lados de esta.

Gracias a la directriz podemos a su vez dibujar el eje, realizando una recta perpendicular a dicha directriz que pase por F, tal que así:

 Después sólo nos quedaría saber dónde está el punto de tangencia sobre la recta t. Para esto hay que trazar una recta desde F' que sea, o bien paralela al eje, o paralela al radio de tangencia desde P hasta la X. Como ya tenemos el eje, le haremos su paralela desde F' hasta que corte a la recta tangente (t)

Parece mentira que esté terminado, ¿verdad? ¿quizás mejor así?:

 

Curvas Cónicas After Christmas Parte 1: La Elipse

 Sí, llegó diciembre y parecía que no volveríamos nunca a vernos las caras, pero terminó la Navidad y con ellas este letargo geométrico. Empezamos el año más fuertes que la nieve con las curvas cónicas.

Es cierto que hemos bautizado este post con el nombre de "Curvas Cónicas After Christmas" y todavía no han terminado. Pero seamos sinceros, ¿es que váis a hacer algo antes de que acaben realmente?

No me enrollo más. Por definición, estas curvas son las resultantes de las diferentes interseccionesentre un cono y un plano. Si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas.

Existen cuatro tipos: Elipse, Parábola, Hipérbola y Circunferencia.

 

Imagen del blog: https://dibujotecni.com/geometria-plana/curvas-conicas/

 

Hoy nos vamos a centrar en conocer y comprender el concepto de elipse y sus elementos principales, ya que nos abrirá muchas puertas de cara a ejercicios más avanzados.

 

La elipse es una curva plana y el lugar geométrico de unos puntos que, al sumar su distancia respecto de los focos (puntos fijos F y F'), el resultado es siempre constante e igual al eje mayor de esta elipse. Es decir, aquí b + c = 2a.

Los elementos que explicaremos a continuación conforman una elipse y son circunferencia principal, circunferencia focal y recta tangente. 

Si lo que queremos es hallar la circunferencia focal de la elipse que hemos dibujado arriba, lo que haremos será prolongar el segmento FP tomando la distandia F'P y poniéndola sobre dicho segmento, lo que nos dará el punto F''.

¿Todo esto, para qué? Bueno, pues es que la circunferencia focal será aquella que, con centro en uno de sus focos y con un radio 2a (el eje mayor de la elipse, marcado en narana en la figura de arriba). Gracias al paso anterior, vemos que ésta pasa por el punto que acabamos de hallar, F''.

F'' también nos servirá para obtener la recta tangente, ya que en este caso se construye uniendo en primer lugar F' con F''. A este segmento le hacemos la mediatriz, y esta será la recta tangente de la elipse que pasa por el punto P.

La circunferencia principal podemos dibujarla con centro en O y diámetro AB. Lo importante de esta circunferencia es que pasa por los puntos medios de todas las rectas tangentes a la elipse. En este caso mostramos cómo corta por el punto medio del segmento surgido al unir F' y F''.

 

 

Una vez tengamos claro estos tres conceptos nos será más fácil resolver problemas como este que os dejo a continuación:

Dada una elipsis definida por sus focos (F y F') y la tangente (t), hallar sus ejes y el punto de tangencia en la recta t 

Si hacemos un repaso de lo que acabamos de explicar, en seguida nos damos cuenta de que necesitamos F'' para poder resolver este problema, puesto que su mediatriz con F' es fundamental para conseguir el punto de tangencia. Lo más sencillo es realizar una recta perpendicular que corte a t. Esto nos dará un punto el cual debemos utilizar como centro de una circunferencia que nos mostrará dónde se encuentra F''

 

Con F'' ya podemos dibujar la circunferencia focal y estar un pasito más cerca de la victoria. ¿Que cómo se hace eso? Yo te lo digo: Cogiendo F'' como centro de esta circunferencia, teniendo como radio la distancia que hay hasta F. Este radio es CLAVE, porque tiene una longitud 2a y por lo tanto ya sabremos el eje mayor de la elipse que estamos buscando.

 

Si no te parece bastante el subidón que te estoy proporcionando dándote la medida del eje mayor, deja que termine de conquistarte con este dato: En el punto donde F'' corta a la recta tangente, ¡está el punto de tangencia! Le llamaremos P, para no perder las costumbres. Aquí un zoom de la figura anterior:

Ahora es el momento en que las mediatrices toman protagonismo. Una mediatriz la haremos entre el semento F'-F'' para conseguir el eje mayor que ya hemos mencionado (al punto medio lo llamamos M; la otra la haremos entre el segmento F-F', la necesitaremos para ubicar el eje menor y por tanto el centro de la elipse, al que llamaremos O.
 

 

No hay tiempo para tonterías, ¡hay una elipsis que dibujar! Tenemos la medida de nuestro eje mayor y vamos a proceder a marcarla. Para ello cogemos la medida del segmento MF y lo transportamos al centro de la elipse, que en nuestro caso se llama O, y ya tendremos las medidas del eje. 

Esto está prácticamente hecho: Tenemos el eje mayor, el punto de tangencia de la recta t y nos quedaría simplemente el eje menor, del cual sabemos en qué dirección va a estar y que sus extremos van a estar a una distancia de los focos igual a medio eje mayor (es decir, cogemos de radio la distandia OB, por ejemplo, y con centro en F y F' vamos haciendo las circunferencias. Donde converjan se encontrarán los puntos C y D).