Dos problemas y un destino

¿Se te ocurre un mejor plan de de domingo que resolver estos dos problemas que voy a relatarte a continuación y que buscan exactamente lo mismo, con distinto procedimiento?

No hace falta que contestes, ya veo que el cambio de hora te ha dejado descolocado a ti también... Pero no perdamos más tiempo, aquí hay dos conflictos que necesitan ser resueltos!

Lanzo cuestión: ¿Cómo dibujamos dos circunferencias que sean tangentes a dos rectas pasando por un punto dado?

 

Tenemos la recta s arriba, la recta r abajo y el punto A 

Como diría Jack el Destripador, "vayamos por partes" (siento de verdad haber metido este chiste sin avisar):

1. Calculamos la bisectriz del angulo que forman las rectas s y r.

 

2. Después de esto, lo que tenemos que calcular es el eje radical, una perpendicular a la bisectriz que acabamos de hacer, que pasa por el punto A y corta nuestras dos rectas iniciales (r y s). A este eje le marcaremos también la perpendicularidad para no perdernos.

3. Como vemos, hay un punto que corta a la recta r (la de abajo) y al cual vamos a llamar Centro Radical (CR).

4. El cuarto paso es elegir un punto cualquiera de la bisectriz, O'. Este va a ser el centro de la circunferencia del haz al que pertenecen las soluciones. Con este centro O' y un radio hasta el punto A, dibujamos la circunferencia.

5. Ahora queda calcular las rectas tangentes del centro radical a la circunferencia auxiliar que acabamos de dibujar. ¿Cómo se hace esto? Trazando una recta que va desde el punto CR hasta O'. A este último segmento dibujado le calculamos la mediatriz.
Al punto resultante lo llamaremos M.

 

6. M no es ni más ni menos que el centro de una circunferencia de arco capaz de 90º y con un diámetro CR-O' .

 

7. Esta nueva circunferencia corta a la circunferencia auxiliar que hicimos al principio en dos puntos, llamados T' y T'' de las rectas CR a la circunferencia auxiliar. Lo que queremos saber con esto es la distancia del centro radical a estos puntos de Tangencia (T' y T''), puesto que es exactamente la misma distancia que hay hasta los puntos de Tangencia de la solución que buscamos.

 8. Así que cogemos como centro el punto CR y como radio uno de estos dos puntos (T' o T'') y dibujamos la circunferencia que nos dará dos puntos que cortan a la recta r y que serán los puntos de tangencia definitivos de esas circunferencias definitivas.

9. Ahora: Perpendicular a r y pasando por los puntos T1 y T2, dibujamos dos rectas que corten también a la bisectriz. Estos puntos resultantes que cortan en la bisectriz serán los centros de las circunferencias definitivas, y les llamaremos O1 y O2. 

SOLUCIÓN IS COMING!

10. Antes de dibujar las circunferencias, sólo queda marcar los puntos de tangencia sobre la recta s (esa gran olvidada desde hace un rato). Trazamos una recta perpendicular a s desde O1 y O2 y donde corten en la recta s marcamos lo que serán los puntos T3 y T4.

11. Por fin, el momento que todos estábamos esperando. Is circunferencias definitivas time!

La primera circunferencia la trazaremos con centro O1 y radio T1 ó T3, el que más rabia os de. La segunda irá con centro O2 y un radio T2 ó T4. Et voilá! ya tenemos nuestras dos circunferencias tangentes a s, r y el punto A.

 

Fácil no será, ¡pero divertido es un rato! ¿Vamos a por el segundo ejercicio?

En este caso, lo que se nos plantea es lo siguiente: ¿Cómo hago dos circunferencias que sean tangentes a 1 recta que pasan por 2 puntos?

El ejercicio lo que plantea es dibujar dos circunferencias que sean tangentes a nuestra recta (r) y que pasarán por A y B. Madre mía, ¿eso cómo se hace? Pues claramente se hace por potencias, aplicando las teorías de potencias que os enseño a continuación.

1. Para completar el primer paso hay que dibujar una circunferencia que pase por los puntos A y B, por lo que trazaremos el segmento AB previamente, y hallaremos el centro de dicha circunferencia en su  mediatriz.

 

 

2. De la mediatriz de AB escogemos un punto, el que sea. Le llamaremos X porque podemos, aunque podríamos llamarlo de cualquier otra forma y el ejercicio seguiría estando bien. Pero lo importante de esto es que X será el centro de una circunferencia que pasará por el punto A y por el punto B.

 

 

3. Ahora cogeremos el segmento AB y lo prolongaremos hasta que corte con la recta r y llamaremos a ese punto C. 

La potencia de C respecto a la circunferencia es, por tanto, CA multiplicado por CB (CA·CB).

4. El siguiente paso es hallar la recta tangente desde el punto C a esta circunferencia que acabamos de hacer. Es interesante saber que hay dos soluciones, una a la izquierda y otra a la derecha, pero bueno, nosotros nos vamos a decantar por el lado izquierdo porque soy zurda y no lo puedo evitar.

 

 

 

Esto se hace uniendo el punto X con el punto C y calculando la mediatriz de este nuevo segmento llamado CX. Al punto medio resultante le llamaremos Y.

 

 

 

5. La función del punto Y es ser el centro de una circunferencia que tendrá un diámetro CX. La circunferencia que acabamos de hacer corta a la anterior en dos puntos, y como hemos dicho anteriormente, nos serviremos del punto de la izquierda (D).

 

6. D será un punto de tangencia de la recta que, pasando por C, es tangente a la circunferencia anterior. Se nos quedaría de esta manera un segmento CD, otro elemento clave de nuestra potencia, ya que CA· CB = CD².  

 

7.He aquí el quid de la cuestión, ya que los puntos de tangencia de las dos circunferencia que buscamos estarán a la distancia CD del punto C. Así que lo que hay que hacer es, con centro C y radio D, trazar una circunferencia, y obtendremos así los dos puntos tangentes a la recta r (T1 y T2).

 8. Por fin comenzamos a ver la luz. Necesitamos los centros de esas circunferencias que cortarán a r en T1 y T2, y los obtendremos de la siguiente manera:

Trazamos dos rectas perpendiculares a r que pasan por T1 y T2.

 

9. Los centros de las circunferencias resultantes en nuestro problema serán aquellos puntos que cortan las perpendiculares que acabamos de hacer con la mediatriz del segmento AB (es verdad, la hicimos hace un millón de años, pero la magia de geogebra nos ayuda a encontrarla, es la gris)

 

10. ¡Ya está! ¡Ya lo tienes! ¡Lo peor ya ha pasado! Ahora sólo nos queda pinchar en O1 y O2 y realizar nuestras circunferencias tangentes a la recta r y a nuestros puntos A y B.

¿Tienes alguna duda? Déjala aquí abajo y pondré a trabajar a mi equipo de duendes del Álgebra para que la resuelvan lo antes posible.

Los puntos notables de un 📐

 En la última entrada descubrimos cuál era el centro de gravedad de un triángulo; ese punto que nos ata al suelo, a la realidad, el que permite que un triángulo no sólo esté, sino que sea de una determinada manera en el plano.

Pero ¡ay, amigo! qué equivocado estabas si creíste que este era el único punto interesante alrededor de esta figura. En este post vamos a adentrarnos en lo que no se ve y te hace especial (siempre y cuando seas un triángulo)

CAPÍTULO I: El circuncentro

Este punto nos ayuda a comprender los límites de un triángulo dentro de una circunferencia, puesto que representa el centro de ésta, y los límites serían los vértices del triángulo.

¡POR FAVOR, SARA, ILUMÍNANOS Y DINOS, ¿CÓMO HAS LLEGADO HASTA AQUÍ?!

Como siempre, el paso uno es dibujar un triángulo como más rabia nos de (recordad que la rabia nos da fuerza y energía para lograr aquello que nos cuesta más)

A partir de aquí, comienza el reto. Averiguar dónde se traza este punto y por qué. ¿Qué narices es lo que decide dónde colocarlo? Pues bien, de eso se encargan las mediatrices, es decir, las líneas rectas perpendiculares que cortan a cada segmento y que se trazan a partir de su punto medio.

 

Una vez trazadas las tres mediatrices surgidas de los tres segmentos que conforman un triángulo, veremos que todas coinciden en un punto. Casualidades de la vida, ¡es ese punto el que estábamos buscando!

CAPÍTULO II: El baricentro

 

No vamos a extendernos mucho con este término, ya que le dedicamos una entrada entera que os dejaré por aquí:

El baricentro, ese gran desconocido

 

Sin embargo repasaremos dos cositas esenciales para que continúen en el imaginario:

    1. También se le llama gravicentro, y es el punto de corte de las tres medianas del triángulo. Fundamental recordar que siempre se encuentra dentro de este, ya que si no no podría ser su centro de gravedad.

    2. Para los más despistadillos: Si no recuerdas qué son las medianas, son las rectas que unen el punto medio de un lado del triángulo con su vértice opuesto.

 

CAPÍTULO III: El incentro

 

El tercer punto a conocer hoy, no es otra cosa sino el centro de la circunferencia inscrita (dentro del triángulo) en el triángulo, y que es tangente a sus tres lados.

 

¡Que no cunda el pánico! A priori puedes no entender nada de lo que está pasando, pero no es nada que no se pueda comparar a cualquier capítulo de La Isla de las Tentaciones: en cuanto te dicen quién es quién todo cobra sentido.

Como siempre, empezamos esta historia por el principio de los tiempos: Un triángulo.

Ahora tenemos que saber lo que es una bisectriz para poder seguir leyendo. Esta es la semirrecta que nace en el vértice de un ángulo y que divide a este ángulo en dos ángulos iguales que miden lo mismo.

Este es un ángulo de 40º (que, si lo hacemos manualmente, vamos a dividir en dos con ayuda de un procesador de ángulos) y nos quedará tal que así:

Si hacemos esto mismo con los tres ángulos que conforman el triángulo, el resultado que obtendremos será este de aquí abajo ▼:

¡Et voilà! El punto donde coinciden las tres semirrectas es el Incentro. Ahora sólo te queda dibujar la circunferencia sirviéndote del radio que te dan las bisectrices desde el incentro a cualquier lado.

 

 

CAPÍTULO IV (y último 🎉): El ortocentro

Pues sí, la verdad, está permitido reírse porque es ya el final del post, estamos cansados y además pone culo, ¿yo qué le hago? 

No obstante he de explicar lo que es porque una vez os lo cuente os preguntaréis cómo habéis podido vivir todo este tiempo sin saberlo.

 El ortocentro es el punto donde se cortan las tres rectas que contienen las alturas de un triángulo.

... Te has quedado igual, ¿verdad? No worries, acabo de buscarlo en google y lo tengo todo bajo control.

Lo primero que voy a explicarte es qué es la altura de un triángulo. Es el segmento perpendicular (que forma 90º con otro segmento) a un lado (del triángulo) que va dessde el vértice opuesto a este lado que hemos comentado antes (o a su prolongación, porque todo puede ser que tengamos que estirar un lado para obtener el punto que necesitamos para formar ortocentro).

Si aún así no te queda claro, una imagen vale más que mil palabras:

En este triángulo, lo que hemos hecho ha sido coger el vértice B desde el cual hemos trazado una línea perpendicular al lado AC. ¿Qué pasará si hacemos otras dos líneas a partir desde los vértices A y C?

¡Efectivamente! Cortarán las tres en algún punto y ese punto será nuestro Ortocentro!

Y hasta aquí la lección amena del domingo por la mañana...

¡Corre! ¡Corre y cuéntaselo a quien más quieras de tu familia! No olvides que a la cama no te irás sin aprender una cosa más.